육십분법

1°도를 단위로 각의 크기를 나타내는 방법을 육십분법이라고 한다. 

호도법 

반지름의 길이 만큼의 호에 대한 중심각의 크기는 반지름의 길이 r에 관계없이 항상 일정하다. 이 때의 중심각의 크기를 

1라디안(1 radian) 또는 1호도라고 하며, 라디안을 단위로 각의 크기를 나타내는 방법을 호도법이라고 한다. 

길이가 r 이고, 호 AB의 길이도 r 인 부채꼴의 중심각 ⦟AOB의 크기를 a°라 하면,

원주는 2ᴨ r 이고, 호의 길이는 중심각의 크기에 비례하므로 다음이 성립한다. 

360° : a°= 2ᴨ r  / : r 

∴a°(radian) = 180°/ ᴨ

ᴨ 라디안 = 180°이고,

ᴨ = 3.141592... 이므로,  1 라디안 = 180°/ ᴨ = 57°17' 45''

즉 1라디안은 육십분법으로 표현을 하면 대략 57 °정도 된다. 

호도법에서는 일반적으로 라디안 단위를 생략하고, 실수로 각의 크기를 나타낸다. 

호도법은 육십분법으로 나타내어진 각을 실수의 단위로 일반화 시키는 역할을 한다. 

삼각함수 사이의 관계1

단위원의 한 점을 P(x, y)라 하고, 동경 OP가 나타내는 각을 Ɵ하고 하면 아래와 같은 관계가 성립함을 알수 있다. 

sinƟ = y

cosƟ = x

tanƟ = y / x = sinƟ / cosƟ

cosecƟ = 1 / y = 1 / sinƟ

secƟ = 1 / x = 1 / cosƟ

cotƟ = x / y = cosƟ / sinƟ

삼각함수 사이의 관계2

좌표평면에서 단위원x² + y² = 1 위의 점 P(x, y)에 대하여 동경 OP가 나타내는 각을 Ɵ 라 하면 

점 P의 좌표는 P(cosƟ, sinƟ) 로 나타낼 수 있는데, x = cosƟ, y = sinƟ 를 원의 방정식에 대입하면 

sin²Ɵ + cos²Ɵ = 1

이 성립한다.  양변을 cos²Ɵ 로 나누어, 정리하면 

tan²Ɵ + 1 = sec²Ɵ 

이 성립한다.  다시 처음 식을 sin²Ɵ 나누어 정리하면 

1 + cot²Ɵ = cosec²Ɵ

이 성립한다. 

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삼각함수의 정의

삼각비는 직각삼각형에서( 각 Ɵ가 예각인 경우) 각과 두 개의 변 사이의 비를 연관지은 개념이다. 

삼각비의 정의를 일반각의 경우로 확장하여 삼각함수를 정의할 수 있다. 

좌표평면 위에서 각 Ɵ의 동경과 원주각의 교점을 P(x, y) 라고 하면, 삼각비의 정의에 의해 

  y / r, x / r,y / x       

의 값은  반지름 r의 값에 관계없이 일정하며, Ɵ의 값에 따라서 각각 하나씩 결정된다.

Ɵ  ---> y / r, Ɵ --> x / r,Ɵ -->y / x      (x 는 0이 아님)

와 같이 대응 시키는 함수를 정의할 수 있다. 

 각 대응을 Ɵ 의 사인 함수, 코사인 함수, 탄젠트 함수라고 한다. 

sinƟ =  y / r,cosƟ = x / r,tanƟ = y / x

사인함수, 코사인함수, 탄젠트 함수의 역수로 정의되는 함수

Ɵ  ---> r / y,    Ɵ --> r / x,    Ɵ -->  x / y     (y는 0이 아님)

와 같이 대응시키는 함수를 각각 코시컨트 함수, 시컨트 함수, 코탄젠트 함수라고 한다. 

cosecƟ =  r / y,secƟ = r / x,cotƟ = x / y

이와 같이 정의된 6개의 함수를 삼각함수 라고 한다 

삼각함수를 사용한 좌표의 표현 

삼각함수의 값은 원의 반지름의 길이에 관계없이 일정하므로, r = 1로 봐도 무방하다. 

좌표평면 위해서 중심이 원점이고, 반지름의 길이가 1인 원(단위원)  x² + y² = 1 위의 점 P(x, y)에 대하여 

동경 OP 가 나타내는 각을 Ɵ라 하면, 

sinƟ = y

cosƟ = x

tanƟ = y / x

따라서 점 P(x, y) 를 P(cosƟ, sinƟ) 로 나타낼 수 있다. 

좌표평면 임의의 점 P(x, y)의 좌표는  선분 OP의 길이가 r 이면, P(r cosƟ, r sinƟ)로 나타낼 수 있다. 

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벡터클래스  Vector3D.h

벡터클래스 테스트  Vector3DTest.cpp

#ifndef _VECTOR3D_H_

#define _VECTOR3D_H_

#define PI 3.14159265

class Vector3D {
        
public:
        float x, y, z;
public:
        Vector3D(float ex = 0, float why = 0, float zee = 0) {
                x = ex, y = why, z = zee;
        }
        
        ~Vector3D() {}
        // 벡터의 크기를 반환하는 메소드 
        float getMagnitude() {
                return sqrtf(x*x + y*y + z*z);
        }
        // 벡터의 스칼라 곱 
        Vector3D operator*(float num) const {
                return Vector3D(x*num, y*num, z*num);
        }
        // 벡터의 합 
        Vector3D operator+(const Vector3D &vec) const {
                return Vector3D(x + vec.x, y + vec.y, z + vec.z);
        }
        // 벡터의 차
        Vector3D operator-(const Vector3D &vec) const {
                return Vector3D(x - vec.x, y - vec.y, z - vec.z);
        }
        // 벡터의 정규화 
        void normalizeVector3D(void) {
                float mag = sqrtf(x*x + y*y + z*z);
                x /= mag;
                y /= mag;
                z /= mag;
        }
        // 벡터의 내적 
        float dotVector3D(const Vector3D &vec) const {
                return x*vec.x + y*vec.y + z*vec.z;
        }
        // 벡터의 외적
        Vector3D crossVector3D(const Vector3D &vec) const {
                return Vector3D(y*vec.z - z*vec.y, z*vec.x - x*vec.z, x*vec.y - y*vec.x);
        }
        // 내적을 이용해 두 벡터간의 각을 구함(단위: 도)
        float angleBetweenVector3Ds(Vector3D &vec)  {
                return (acos(dotVector3D(vec) / (getMagnitude() * vec.getMagnitude())) * (180 / PI));
        }
        
};

#endif

벡터 클래스의 사용

#include <iostream>
#include <cmath>
#include "Vector3D.h"

using namespace std;

int main()
{
        Vector3D A(5, 2, -3);
        Vector3D B(8, 1, -4);

        cout << "Vector A*B : " << A.dotVector3D(B) << endl;
        cout << "Vector A magnitude: " << A.getMagnitude() << endl;
        cout << "Vector B mgaginute: " << B.getMagnitude() << endl;
        cout << "angle between two vectors: " << A.angleBetweenVector3Ds(B) << endl;
        
        Vector3D C = A.crossVector3D(B);        
        C.normalizeVector3D();
        
        cout << "nomalized vector: " << C.x << "i " << C.y << "j " << C.z << "k" << endl;
        
        return 0;
}

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벡터의 개념

물체의 운동을 기술하기 위한 물리량으로 정적인 위치만을 기술하는 스칼라 양으로는 부적합하다.  이런 요구 충족을 위해

벡터량이 19세기 비교적 최근에 등장하게 되었음. 벡터는 크기와 함께 방향을 갖는 물리량이다. 

프로그램 코드에서 스칼라수는 어떠한 변수에도(어떤 자료형이든) 적용가능하지만, 벡터 저장을 위한 내장 데이터 타입은

없어서 별도로 구현해야한다. 

변위와 거리

변위는 거리를, 속도는 속력을 벡터로 표현한 것이다.  변위는 마지막 위치에서 시작 위치를 뺀 값이지만, 거리는 중간에 거친 

모든 경로를 더한 값이다. 변위는 중간에 일아나는 모든 일에 대한 정보는 없어진다는 점때문에 프로그램에서는 운동을 작은

시간간격으로 쪼개어 정보손실을 보완한다.  (프레임 단위의 짧은 시간 간격으로...)

 극좌표와 데카르트 좌표

1차원 벡터는 양수, 음수만으로 벡터의 방향을 표현 가능하지만,  2차원, 3차원에서는 충분치 않다. 

2차원에서 벡터를 기술하는 2가지 형태로 극좌표와 데카르트 좌표가 있다.  극좌표는 벡터의 크기와 어떤 기준선으로 부터

벡터가 이루는 각으로 표현한 방법이며. 벡터가  어떤 모양인지 파악하기 쉬운 장점이 있다. 

벡터의 극좌표

벡터의 크기를  |A| , 벡터의 방향을 θ 라 할때, 

벡터 A = |A|@θ 로 표현함

데카르트 좌표는 벡터를 수평과 수직 변위로 표현하는 방법으로,  코딩 시 사용되는 방법이다. 벡터를 구성하는  2가지 구성요소를 수직과 수평성분이라 한다. 컴퓨터 화면은 격자형태로 설정 되어있기 때문에,  데카르트 좌표를 사용한다. 

벡터의 데카르트 좌표

벡터의 x축 단위벡터를 i, y축 단위벡터를 j라 하면, 

벡터 B = b1i + b2j

극좌표의 데카르트 좌표로의 변환 

극좌표로 표현된 벡터 A가 |A|@ θ일 때, 피타고라스의 정리를 이용하여  데카르트좌표로 다음과 같이 표현할 수 있다. 

A = a1i + a2j  (a1 = |A|cosθ, a2 = |A|sinθ)

벡터의 합과 차

두 벡터의 합을 시각적으로 표현하면, 한 벡터의 시작점을 다른 벡터의 끝점으로 수평이동 시키고, 움직이지 않은 벡터의 시작점과 움직인 벡터의 끝점을 연결하여 그려진 벡터가 두 벡터의 합이다. 

임의의 벡터 A, B에 대해서 교환법칙임 성립함 
A+B = B+A

두 벡터의 합 C+D 길이는 C , D의 길이를 각각 더한 것보다 더 짧다. 

|A+B| != |A| + |B|이기 때문에 극좌표로 표현된 벡터는 같은 방향이 아니면 더해서는 안된다는 것에 주의해야 한다. 

대신 데카르트 좌표로 변환하여 더해야한다. 

두 벡터의 합 

두 벡터 A= a1i + a2j , B = b1i + b2j 에 대하여,

A + B = (a1 + b1)i + (b1+ b2)j 

 벡터의 차는 두 번째 벡터를 반전하여 더하는 것과 같다. 

두 벡터의 차 

두 벡터 A = a1i + a2j, B = b1i + b2j 이면 

A - B = (a1 - b1)i + (a2 - b2)j

벡터의 스칼라곱, 정규화

벡터의 스칼라 곱은 벡터의 크기만을 늘리거나 줄이는 결과를 가져온다. 

극좌표 형식 벡터의 스칼라 곱

임의의 벡터 A = |A| @ θ에 대하여,

cA = c |A| @ θ

벡터의 크기가 스칼라 양을 곱한 벡터와 같다. 

데카르트 형식 벡터의 스칼라 곱

임의의 스칼라 c와 임의의 벡터 A = a1i + a2j 에 대하여,

cA = c a1i + c a2j

베터의 각 성분에 스칼라 양을 곱한 벡터와 같다. 

정규화(normalization)

벡터의 크기를 1로 맞추는 것을 의미한다. 벡터의 방향만을 사용하고 싶을 때, 크기가 1인 단위벡터로  만들어 사용하는 것이다. 

 극좌표 형식의 벡터 정규화는 벡터의 크기를 1로 바꾸고, 방향을 그대로 유지하면 된다. 데카르트 형식의 벡터는 벡터의 크기를

계산하고, 각 성분을 크기로 나누면 된다. 

2차원 벡터의 정규화 

임의의 벡터 A = [a1 a2]에 대하여,

 =  A / |A| = [ a1/ |A|  a2/ |A|  a3/ |A| ]

벡터의 내적(dot product) 

두 벡터의 내적은 그 결과가 스칼라 값이어서 스칼라적이라고도 한다. 내적은 두 벡터의 각 x성분의 곱과 각 y성분의 곱을

더한 결과이다. 두 벡터가 같은 차원이어야 가능하다는 것을 주의하자. 

2차원 벡터의 내적 

임의의 2차원 벡터 A = [a1 a2], B = [b1 b2]에 대하여,

A⋅B = a1 b1 + a2 b2

 내적이 중요한 이유는 비교적 적은 연산으로 두 벡터 사이의 각을 구할 수 있기 때문이다.

내적은 3차원 그래픽 분야에서 3차원 다각형의 보이지 않는 제거될 면을 판단하기 위해 사용된다.

(카메라와의 각이 90 이상인 다각형은 제거됨)

내적의 부호

 벡터 A 와 B 사이의 각을 θ라 할 때,

A⋅B < 0 이면(음수이면),  θ > 90˚

A⋅B = 0 이면,  A ⊥ B

A⋅B  > 0  이면(양수이면), θ< 90˚

두 벡터 사이의  각 

임의의 두 벡터 A, B 사이의 각을 θ라 하면, 

A⋅B = |A| |B| cosθ

위와 같은 공식을 이용하여, 두 벡터 가 이루는 각을 알 수 있다. 

벡터의 외적(cross product)

두 벡터를 곱하는 또 다른 방법으로, 외적의 결과는 벡터라는 점 때문에 벡터적이라고도 한다. 

외적 

임의의 두 벡터 A = [a1 a2 a3],  B = [b1 b2 b3]에 대하여,

 A x B = [(a2b3-a3b2)  (a3b1 - a1b3)  (a1b2 - a2b1)]

외적의 중요한 성질은 외적의 결과가 원래의 두 벡터와 모두 직교하는 벡터라는 점이다. 이 때문에 외적은 3차원 벡터에

대해서만 정의된다.

직교 벡터 

A x B  는 두 벡터 A, B에 모두 수직인 벡터 

벡터 A와 B를 포함하는 평면에는 수직인 2개의 방향이 있기 때문에 외적은 교환법칙이  성립하지 않는다.  

A x B != B x A

단 임의의 3차원 벡터 A,B 에 대해서 A x B = -(B x A)

외적은 표면 법선(surface normal)을 계산하는데 사용된다. 임의의 두 3차원 벡터는 하나의 면을 정의하는데, 표면 법선은

주어진 면에 수직인 길이가 1인 벡터를 말한다.

또한 두 벡터의 사이의 각을 구할시 외적을 사용할 수도 있다. (내적을 통해 구하는 것이 더 효율적이다.)

두 벡터가 이루는 각을 외적을 통해 구하기 위한 공식 

|A x B| = |A||B|sin